rilevante

Volevo un vostro parere sulla seguente osservazione.

Per quanto qualcuno si ostini a criticare l'assioma della scelta, mi
pare che abbia comunque un valore <<puramente logico>> notevole per il
solo fatto di essere <<esempio>> di assioma indipendente da ZF. Mi
spiego meglio con un esempio.

Supponiamo di voler dimostrare in ZF che:

(*) tutte le funzioni sono misurabili.

Mi scervello e non ci riesco. Poi provo ad aggiungere a ZF anche AC e
dimostro che esiste una funzione non misurabile. Bene così facendo ho
in qualche modo <<dimostrato>> che non era possibile dimostrare (*) in
ZF, e ciò per il semplice fatto che se (*) fosse dimostrabile in ZF
allora sarebbe vera la negazione dell'assioma di scelta.

Voglio con ciò dire che piuttosto che essere della corrente di chi
accetta o non accetta AC, è fuori dubbio la sua importanza in quanto il
suo uso permette di capire se alcune asserzioni sono o meno dimostrabili
in ZF.

Ciao,
Josh.

Josh <nomail> scrive:

[..]
> Mi scervello e non ci riesco. Poi provo ad aggiungere a ZF anche AC e
> dimostro che esiste una funzione non misurabile. Bene così facendo ho
> in qualche modo <<dimostrato>> che non era possibile dimostrare (*) in
> ZF, e ciò per il semplice fatto che se (*) fosse dimostrabile in ZF
> allora sarebbe vera la negazione dell'assioma di scelta.
>
> Voglio con ciò dire che piuttosto che essere della corrente di chi
> accetta o non accetta AC, è fuori dubbio la sua importanza in quanto il
> suo uso permette di capire se alcune asserzioni sono o meno dimostrabili
> in ZF.

Il fatto che tu ti scervelli e non cavi un ragno dal buco non è
una dimostrazione di "l'enunciato (*) è indimostrabile in ZF".

Perché mai la dimostrabilità di (*) in ZF dovrebbe implicare
la negazione dell'assioma di scelta?

Ciao
Enrico

Il 22/02/2012 14:16, Enrico Gregorio ha scritto:
> Josh<nomail> scrive:
>
> Il fatto che tu ti scervelli e non cavi un ragno dal buco non è
> una dimostrazione di "l'enunciato (*) è indimostrabile in ZF".

Per supposta coerenza: se da ZF + AC derivo che vale l'affermazione M, non
mi aspetto che da ZF derivi la *negazione* di M. Nella fattispecie le
possibilità
sulla misurabilità di tutte le funzioni sono solo due:

1. XOR non è dimostrabile in ZF la (*)
2. XOR è dimostrabile in ZF la negazione di (*).

Non ti trovi?
Può darsi pure che stia scrivendo sciocchezze perché è facile che le scriva
quando si scrive di getto mischiando logica e metalogica.

Ciao, Josh.

Josh <nomail> scrive:

> Il 22/02/2012 14:16, Enrico Gregorio ha scritto:
>
> Per supposta coerenza: se da ZF + AC derivo che vale l'affermazione M, non
> mi aspetto che da ZF derivi la *negazione* di M. Nella fattispecie le
> possibilità
> sulla misurabilità di tutte le funzioni sono solo due:
>
> 1. XOR non è dimostrabile in ZF la (*)
> 2. XOR è dimostrabile in ZF la negazione di (*).

===
Tutto quanto segue supponendo la coerenza di ZF (altrimenti
ogni enunciato è dimostrabile e la discussione è oziosa).
===

Stai dicendo che deve valere una sola delle due asserzioni seguenti,
se non ho capito male.

1. (*) non è dimostrabile in ZF
2. "non (*)" è dimostrabile in ZF

Se "non (*)" è dimostrabile in ZF, allora (*) non è dimostrabile
in ZF: ovvio, altrimenti ZF sarebbe contraddittorio. Quindi le
tue due asserzioni non sono mutuamente esclusive.

Quello che è corretto dire è: vale una e una sola delle tre
asserzioni seguenti

1. (*) è dimostrabile in ZF
2. (*) è refutabile in ZF (cioè "non (*)" è dimostrabile)
3. (*) è indecidibile in ZF

> Non ti trovi?
> Può darsi pure che stia scrivendo sciocchezze perché è facile che le scriva
> quando si scrive di getto mischiando logica e metalogica.

Il fatto che in ZF + AC sia dimostrabile (*) è equivalente
all'asserzione che in ZF è dimostrabile "AC -> (*)", che è
equivalente alla dimostrabilità in ZF di "non (*) -> non AC".
Dunque se in ZF si potesse dimostrare "non (*)" , avresti
anche la dimostrazione di "non AC".

Se ZF+AC è coerente non puoi dimostrare "non AC" in ZF, dunque
nemmeno "non (*)".

Ti torna adesso?

Ciao
Enrico

On 22 Feb, 14:16, Enrico Gregorio <Faciledatrov>
wrote:
[..]
>>
>> Il fatto che tu ti scervelli e non cavi un ragno dal buco non è
> una dimostrazione di "l'enunciato (*) è indimostrabile in ZF".
>
> Perché mai la dimostrabilità di (*) in ZF dovrebbe implicare
> la negazione dell'assioma di scelta?

Per Reductio:
1) AS (Ipotesi)
2) (*) (Teorema)
3) Esiste Funzione non misurabile (Da AS)
4) 2 e 3 ---> Contraddizione
5) AS e' falsa

..
Giovanni

Il 22/02/2012 16:05, Enrico Gregorio ha scritto:
> Josh<nomail> scrive:
>
> ===
> Tutto quanto segue supponendo la coerenza di ZF (altrimenti
> ogni enunciato è dimostrabile e la discussione è oziosa).
> ===
>
> Stai dicendo che deve valere una sola delle due asserzioni seguenti,
> se non ho capito male.
>
> 1. (*) non è dimostrabile in ZF
> 2. "non (*)" è dimostrabile in ZF

Hai ragione mi sono espresso malissimo: intendevo dire:

1. (*) è indecidibile in ZF
2. "non (*)" è dimostrabile in ZF


[..]
> Il fatto che in ZF + AC sia dimostrabile (*) è equivalente
> all'asserzione che in ZF è dimostrabile "AC -> (*)", che è
> equivalente alla dimostrabilità in ZF di "non (*) -> non AC".
> Dunque se in ZF si potesse dimostrare "non (*)" , avresti
> anche la dimostrazione di "non AC".
>
> Se ZF+AC è coerente non puoi dimostrare "non AC" in ZF, dunque
> nemmeno "non (*)".
>
> Ti torna adesso?

Sì mi torna tutto. Ed allora il mio post originale ha perfettamente
senso. Perché lo hai
condannato? :-) Nel post precedente scrivi:

<< Perché mai la dimostrabilità di (*) in ZF dovrebbe implicare la
negazione dell'assioma di scelta?>>

Diciamo che ci siamo espressi male. Chiarito ciò, il mio post voleva
aprire una discussione sulla
seguente osservazione: il fatto che da AC derivi qualcosa di paradossale
(a volte) *non è* dovuto al fatto che AC è un assioma da guardare
storto, perché anche se lo levi (AC) al più ottieni che quell'asserzione
paradossale non è più raggiungibile (come deduzione logica) ma di certo
non ottieni che (ad esempio) il paradosso di Banach-Tarski non sussite
più (semplicemente
o è vero anche senza AC oppure non si può dire più niente a proposito di
tale paradosso).
Non so se riesco a spiegarmi.

Ciao, Josh.

On 22 Feb, 16:35, Josh <nom> wrote:
[..]
>>
>
> Sì mi torna tutto. Ed allora il mio post originale ha perfettamente
> senso. Perché lo hai
> condannato? :-) Nel post precedente scrivi:
>
> << Perché mai la dimostrabilità di (*) in ZF dovrebbe implicare la
> negazione dell'assioma di scelta?>>

Enrico ha interpretato male.

..
Giovanni

Josh <nomail> scrive:

> Il 22/02/2012 16:05, Enrico Gregorio ha scritto:
>
> Hai ragione mi sono espresso malissimo: intendevo dire:
>
> 1. (*) è indecidibile in ZF
> 2. "non (*)" è dimostrabile in ZF
>>
> Sì mi torna tutto. Ed allora il mio post originale ha perfettamente
> senso. Perché lo hai
> condannato? :-) Nel post precedente scrivi:
>
> << Perché mai la dimostrabilità di (*) in ZF dovrebbe implicare la
> negazione dell'assioma di scelta?>>

È la dimostrabilità di "non (*)" insieme a quella di "AC -> (*)"
che implica la negazione di AC. Per favore, se parli di logica,
sii preciso.

Cito:

Mi scervello e non ci riesco. Poi provo ad aggiungere a ZF anche AC e
dimostro che esiste una funzione non misurabile. Bene così facendo
ho in qualche modo <<dimostrato>> che non era possibile dimostrare
(*) in ZF, e ciò per il semplice fatto che se (*) fosse dimostrabile
in ZF allora sarebbe vera la negazione dell'assioma di scelta.

Adesso sei convinto della giustezza della condanna? :)

Se (*) è dimostrabile in ZF, lo è anche, in modo del tutto ovvio,
"AC -> (*)", ma questo non dice /niente/ su AC.

> Diciamo che ci siamo espressi male. Chiarito ciò, il mio post voleva
> aprire una discussione sulla
> seguente osservazione: il fatto che da AC derivi qualcosa di paradossale
> (a volte) *non è* dovuto al fatto che AC è un assioma da guardare
> storto, perché anche se lo levi (AC) al più ottieni che quell'asserzione
> paradossale non è più raggiungibile (come deduzione logica) ma di certo
> non ottieni che (ad esempio) il paradosso di Banach-Tarski non sussite
> più (semplicemente
> o è vero anche senza AC oppure non si può dire più niente a proposito di
> tale paradosso).
> Non so se riesco a spiegarmi.

No.

Ciao
Enrico

Il 22/02/2012 17:22, Giovanni ha scritto:
> On 22 Feb, 16:35, Josh<nom> wrote:
> Enrico ha interpretato male.
>
> .
> Giovanni

Diciamo pure che io non l'ho aiutato ad interpretare bene :-).
Cmq il succo del mio post era il seguente: se una persone non accetta
l'assioma
della scelta (e se lo fa sul serio deve far almeno finta di non usarlo
mai) allora si perde
molti risultati riguardanti ZF. Come nel caso delle funzioni misurabili:
è vero che si usa
AC per dimostrare l'esistenza di funzioni misurabili, ma il legame che
c'è tra ZF e ZFC ci dice
che anche se ti muovi solo in ZF non puoi sperare di ottenere un
risultato che dice che
tutte le funzioni siano misurabili.

Così pure negare AC, non mi permette di dire che "non è vero che è
possibile equicomporre
due aperti di modo che abbiano stessa misura esterna".

Ciao, Josh.

aventi stessa misura esterna"

Il 22/02/2012 18:00, Enrico Gregorio ha scritto:
> Josh<nomail> scrive:
>
> È la dimostrabilità di "non (*)" insieme a quella di "AC -> (*)"
> che implica la negazione di AC. Per favore, se parli di logica,
> sii preciso.
>
> Cito:
>
> Mi scervello e non ci riesco. Poi provo ad aggiungere a ZF anche AC e
> dimostro che esiste una funzione non misurabile. Bene così facendo
> ho in qualche modo<<dimostrato>> che non era possibile dimostrare
> (*) in ZF, e ciò per il semplice fatto che se (*) fosse dimostrabile
> in ZF allora sarebbe vera la negazione dell'assioma di scelta.
>
> Adesso sei convinto della giustezza della condanna? :)
>
> Se (*) è dimostrabile in ZF, lo è anche, in modo del tutto ovvio,
> "AC -> (*)", ma questo non dice /niente/ su AC.

Se (*) è dimostrabile in ZF, questo significa che ZF=>(*), e quindi
anche che ZFC => (*).
D'altro canto è noto che ZFC => NOT(*) e quindi ottieni una contraddizione.

Credo che questo problema di comunicazione derivi dal fato che non hai
letto con attenzione il post.
Secondo me non hai letto bene cosa viene indicato da (*).

Ciao, Josh.

Josh <nomail> scrive:

> Il 22/02/2012 18:00, Enrico Gregorio ha scritto:
>
> Se (*) è dimostrabile in ZF, questo significa che ZF=>(*), e quindi
> anche che ZFC => (*).
> D'altro canto è noto che ZFC => NOT(*) e quindi ottieni una contraddizione.
>
> Credo che questo problema di comunicazione derivi dal fato che non hai
> letto con attenzione il post.
> Secondo me non hai letto bene cosa viene indicato da (*).
>
> Ciao, Josh.

Scusa. Ho preso (*) come l'enunciato molto più plausibile
"non tutte le funzioni sono misurabili".

Ciao
Enrico

Il 22/02/2012 18:40, Enrico Gregorio ha scritto:
> Scusa. Ho preso (*) come l'enunciato molto più plausibile
> "non tutte le funzioni sono misurabili".
Lo sapevo io. Avevo avuto questo dubbio sin dalla tua prima risposta :-)
Ad ogni modo ricordo che anni fa Vittorino Pata diceva sempre che AC in
teoria
della misura era la causa di molte "schifezze". Ma non riesco a capire
perché prendersela con AC, dato che anche _non usandolo_ la situazione
non migliora: infatti XoR quelle "schifezze" rimangono XoR le rendi
invisibili (ossia fai finta di non vederle).

Non trovi?

Ciao, Josh.

Josh <nomail> scrive:

> Il 22/02/2012 18:40, Enrico Gregorio ha scritto:
> > Scusa. Ho preso (*) come l'enunciato molto più plausibile
> > "non tutte le funzioni sono misurabili".
> Lo sapevo io. Avevo avuto questo dubbio sin dalla tua prima risposta :-)
> Ad ogni modo ricordo che anni fa Vittorino Pata diceva sempre che AC in
> teoria
> della misura era la causa di molte "schifezze". Ma non riesco a capire
> perché prendersela con AC, dato che anche _non usandolo_ la situazione
> non migliora: infatti XoR quelle "schifezze" rimangono XoR le rendi
> invisibili (ossia fai finta di non vederle).
>
> Non trovi?
>
> Ciao, Josh.

Sinceramente preferisco avere a disposizione il teorema di Weierstrass
e tante altre cosucce interessanti. È vero che non dipende dall'assioma
di scelta in forma completa, ma a me interessa che con gli insiemi
si possa lavorare: un prodotto di spazi compatti è compatto.

Ciao
Enrico

Il 22/02/2012 14:38, Josh ha scritto:
> Per supposta coerenza: se da ZF + AC derivo che vale l'affermazione M, non
> mi aspetto che da ZF derivi la *negazione* di M.

Fin qui ci siamo.

> Nella fattispecie le
> possibilità
> sulla misurabilità di tutte le funzioni sono solo due:
>
> 1. XOR non è dimostrabile in ZF la (*)
> 2. XOR è dimostrabile in ZF la negazione di (*).

???

> Non ti trovi?
> Può darsi pure che stia scrivendo sciocchezze perché è facile che le scriva
> quando si scrive di getto mischiando logica e metalogica.

Confermo. Stai scrivendo sciocchezze.
La terza possibilità è che l'enunciato (*) sia indipendente da ZF, per
cui ZF non dimostra né (*) né la sua negazione.
Per provarlo, bisogna esibire due modelli di ZF, uno in cui (*) vale e
uno in cui (*) non vale.

-- bb

E ovviamente non avevo fatto caso che c'erano già milioni di risposte,
chiedo venia.

-- bb